一番手っ取り早いのは、

荒川遊園
↓都電荒川線
王子
↓京浜東北線
上野
↓銀座線
浅草

または
荒川遊園
↓都電荒川線
三ノ輪
↓日比谷線
上野
↓銀座線
浅草

ですね。
都電荒川線は荒川遊園で非常に混むので気を付けてください。
王子、三ノ輪での乗り換えは多少歩きますが、王子乗り換えの方が徒歩の距離が少ないと思います。